筆算で平方根を求める方法

筆算で√（平方根）を求める方法をどこかで習って覚えていたのだが、ふとそのことを思い出してTwitterで聞いてみると、知っている人はあまり多くない様子。

知っていた人も「教科書のAppendixに載っていた」「おじいさんに教えてもらった」「塾で聞いた」などまちまちで、少なくとも学習指導要領に入っていることはなさそうだった。
でもこれ、電卓がない場面では便利なので、覚えておいて損はないと思う。（最近は電卓が手元にない場面の方が珍しい？）

筆算の手法そのものは、開平法 - Wikipedia にも詳しく載っているのでそちらを見ればよいと思うが、なぜその方法で解が求まるのかを考えるのは、ちょっとパズルっぽくて面白い。

Wikipediaの解説が詳しすぎて少し読みにくかったので、√10の計算を例にとり、もう少しわかりやすく書いておきます。

√10=3.???　の求め方
小数点以下1桁目の数字をa₁、2桁目の数字をa₂、…とする。

・最初に面積10の正方形の板から一辺3の正方形を切り出すと、
　残ったL字部分の面積：　10-3x3=1
　ここからなるべく大きい幅 a₁/10 の板を切り出すことを考える。

　2つの長方形と小さい正方形の面積の和：　(6+a₁/10)x(a₁/10)
　よって、(6+a₁/10)x(a₁/10)<1　⇔　(60+a₁)x a₁<100 となる最大のa₁は、1。

・上で求めた2本の長方形と小さい正方形を切り出すと、
　残ったさらに細いL字部分の面積：　1-6.1x0.1=0.39
　ここからなるべく大きい幅 a₂/100 の板を切り出すことを考える。

　2つの長方形と小さい正方形の面積の和：　(6.2+a₂/100)x(a₂/100)
　よって、(6.2+a₂/100)x(a₂/100)<0.39　⇔　(620+a₂)x a₂<3900 となる最大のa₂は、6。

　－ 以下繰り返し －


これを筆算の形で書き下していくと、こうなります。


ポイントは、
・小数点を起点に、2桁ずつ区切って計算する
・右側では、2つの長方形と小さい正方形の面積を次々と引いていく
・左側では、近似正方形の2辺の和を次々と求めていく
となります。

漸化式を筆算することになるので、進めば進むほど桁数がどんどん増えていきますが、子供心にも挑戦意欲が湧き、何桁も筆算していたのを思い出します。

こんなシンプルな方法で計算できるなんて、これを最初に考えた人は本当にすごいですね。